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Álgebra A 62
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ÁLGEBRA A 62 UBA XXI
CÁTEDRA ESCAYOLA
7.
En cada caso, hallen una base de la imagen $T(S)$ del subespacio $S$ por la transformación lineal $T$. Interpretar geométricamente.
b) $T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3},\; T(\vec{v})=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 0\end{array}\right)\cdot \vec{v}$ para: (i) $S=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in \mathbb{R}^{3}: x_{1}+x_{2}+2 x_{3}=0\right\}$ (ii) $S=\langle(1,2,0)\rangle$.
b) $T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3},\; T(\vec{v})=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 0\end{array}\right)\cdot \vec{v}$ para: (i) $S=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in \mathbb{R}^{3}: x_{1}+x_{2}+2 x_{3}=0\right\}$ (ii) $S=\langle(1,2,0)\rangle$.
Respuesta
i) $S=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in \mathbb{R}^{3}: x_{1}+x_{2}+2 x_{3}=0\right\}$
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Lo primero que hacemos es pasar $S$ a generadores
Por ejemplo, yo voy a elegir despejar $x_1$ en función de las otras variables
$x_1 = -x_2-2x_3$
Entonces $S$ en generadores me termina quedando así:
$S = \langle (-1,1,0), (-2,0,1) \rangle$
Ahora, para obtener $T(S)$ hacemos...
$T(S) = \langle T(-1,1,0), T(-2,0,1) \rangle$
Usando la matriz que nos dan de $T$ obtenemos $T(-1,1,0)$ y $T(-2,0,1)$:
$\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 0\end{array}\right)\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$
$\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 0\end{array}\right)\cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}$
Con lo cual, tenemos que...
$T(S) = \langle (1,1,2), (-1,-1,-2) \rangle$
Pero atentiiii, estos dos generadores son LD, fijate que uno es múltiplo del otro, así que no forman base. Directamente podríamos escribir a $T(S)$ así:
$T(S) = \langle (1,1,2) \rangle$
Y una base de $T(S)$ sería $\{(1,1,2)\}$
ii) $S=\langle(1,2,0)\rangle$
Ya tenemos a $S$ en generadores, así que
$T(S) = \langle T(1,2,0) \rangle$
Usando la matriz que nos dan de $T$ obtenemos $T(1,2,0)$:
$\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 0\end{array}\right)\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix}$
Con lo cual, tenemos que...
$T(S) = \langle (5,2,7) \rangle$
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